拉格朗日力学的案例阐发
在之前的课程中，张向阳已经介绍了拉格朗日力学，包罗变分原理等足球预测。但是我们碰到的良多力学问题利用牛顿力学都能够很好的处置，那么什么情况下利用拉格朗日力学会愈加便利呢？《张向阳的物理课》第一百八十期开播，搜狐开创人、董事局主席兼首席施行官、物理学博士张向阳坐镇搜狐视频曲播间，对那一问题停止了研究和讲解。通过弹簧摆与双摆两个案例来申明拉格朗日力学在现实应用中的优胜之处。
拉格朗日力学
张向阳起首回忆了之前课程讲解的拉格朗日力学的内容足球预测。
起首，任给一个想要研究的物体，要描述它需要时间t，广义坐标q以及广义坐标对时间的导数（广义速度）足球预测。在凡是的机械运动情况下，考虑不含时的系统，它的拉氏量就有如下形式：
拉氏量是广义坐标与它们对时间的导数的函数足球预测。实在情况下物体老是沿着某一条途径运动，当在地球上低速情况下，决定粒子途径的规律恰是牛顿力学。无妨假设物体运动在一维空间中，在t1时刻的广义坐标为q1，t2时刻为q2，而且关于那两个途径的端点，广义速度也是确定的。那里，张向阳希望展现一种更曲不雅的计划来理解变分原理。以粒子的广义坐标与广义速度为坐标轴，物体途径上每一点都有一个响应的拉氏量的取值。如今，先假设广义坐标与广义速度间是独立的，对物体运动的途径来做一些细小的变更， 希望可以通过如许的变更来找到实在的途径（被牛顿力学决定的）有什么特殊之处，也即，所有可能的途径中实在途径应该满足什么样的前提才气回到牛顿力学的要求。起首，所有允许的途径都应该满足广义速度是广义坐标对时间的导数，不只如斯，还要满足下式的积分约束前提：
几何上，所有满足上边两个前提的途径是广义坐标、广义速度以及拉氏量三者张成的空间中某个超曲面的子集足球预测。如今固定途径的起点与起点，让途径在那一集合中变革，那一步调被称做变分。结论就是，感化量（即拉氏量沿途径的积分）在变分的操做下取极值，如下式所示：
响应的拉氏量满足的微分方程（Euler-Lagrange方程）为：
张向阳讲解变分原理
弹簧摆
之前张向阳已经举过一些例子来讲解拉格朗日力学，包罗自在落体、中心力场等足球预测。今天继续研究更多的案例，起首是弹簧摆（spring pendulum），即一个弹簧下悬挂一个小球，小球会沿着弹簧标的目的振动的同时随弹簧一路摆动。弹簧的劲度系数为k，小球的量量为m，重力加速度为g，弹簧摆动的角度为theta，弹簧天然长度为r0，小球间隔弹簧顶端悬挂点的间隔为r（即弹簧现实长度）。起首利用牛顿力学来对那一系统停止受力阐发。关于径向（沿着弹簧的标的目的），小球遭到弹簧的弹力、重力的分力以及在弹簧系下的惯性力（离心力），写出牛顿第二定律为：
关于角向足球预测，小球只遭到重力的分力，由角动量定理能够得到：
回到拉格朗日力学再来研究弹簧摆，就要别离写出系统的动能以及势能足球预测。动能为：
势能为：
拉氏量为：
因而足球预测，由Euler-Lagrange方程就能够间接写出径向的运动方程：
以及角向的运动方程：
能够看到和用牛顿力学阐发得到的方程完全一致足球预测。关于弹簧摆，因为径向的运动和角向的运动是耦合的，方程无法解析求解，张向阳课上展现了数值计算得到的图象化成果，能够看到呈现了混沌现象，那一系统是对初值敏感的。
张向阳阐发弹簧摆的运动方程
双摆
双摆（double pendulum）是一个典型的利用牛顿力学阐发比力困难的系统，但是利用拉格朗日力学会相对容易许多足球预测。双摆由两个小球，m1由轻杆l1悬挂在固定点，m2由轻杆l2悬挂在小球m1上，两球摆动的角度别离为theta1和theta2。系统的动能项由两个小球的动能相加得到：
系统势能同理：
则拉氏量为：
同样利用Euler-Lagrange方程，就可以得到双摆的运动方程足球预测。
张向阳阐发双摆的拉氏量
张向阳阐发双摆的拉氏量据领会，《张向阳的物理课》于每周五、周日中午12时在搜狐视频曲播，网友能够在搜狐视频APP“存眷流”中搜刮“张向阳”，旁观曲播及往期完好视频回放；存眷“张向阳的物理课”账号，查看课程中的“常识点”短视频；此外，还能够在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章足球预测。
